כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 חוגים כלליים
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. חוג חוג הוא קבוצה \(R\) בעלת איברים הנקראים "אפס" (יסומן ב-\(0\)) ו-"אחד" (יסומן ב-\(1\)), שעליה מוגדרות שתי פעולות דו-מקומיות הנקראות "חיבור" (תסומן ב-"\(+\)") ו-"כפל" (תסומן ב-"\(\cdot\)"1פעמים רבות כותבים \(ab\) במקום \(a\cdot b\), בסיכומים אלו נמעט בכך כדי לשמור על בהירות התוכן.), כך שמתקיימות7התכונות הבאות:
\(a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)\)2ישנה מוסכמה שמבצעים כפל לפני חיבור ולכן באגף ימין ניתן היה לכתוב \(a\cdot b+a\cdot c\).
הגדרה 1.2. במילים אחרות חוג הוא קבוצה \(R\), איברים מיוחדים "\(0\)" ו-"\(1\)" ושתי פעולות "\(+\)" ו-"\(-\)" כך ש-\(\left(R,+,0\right)\) היא חבורה אבלית, ובנוסף הכפל אסוציאטיבי ובעל איבר יחידה.
\(\clubsuit\)
מבחינה פורמלית חוג הוא סדרה בעלת חמישה איברים \(\left(R,+,\cdot,0,1\right)\).
\(\clubsuit\)
בניגוד לשדה בו \(1\neq0\), בחוג איננו דורשים זאת, ואכן הקבוצה \(\left\{ 0\right\} \) היא חוג (נקרא החוג הטריוויאלי).
\(\clubsuit\)
לעתים מגדירים חוג ללא הקיום של איבר אדיש לכפל, ואז קוראים לחוגים שהגדרנו כאן "חוגים עם יחידה" (ובהתאמה חוגים שאינם כאלה נקראים גם "חוגים בלי יחידה"). אנחנו לא נעשה זאת בקורס זה, כל חוג שנדבר עליו יהיה חוג עם יחידה אלא אם נאמר אחרת במפורש.
רשימת חוגים שאנחנו כבר מכירים
שדות: \(\MKrational\), \(\MKreal\), \(\MKcomplex\) והשדות מהצורה \(\MKfield_{p}\) עבור \(p\) ראשוני.
חוג השלמים \(\MKinteger\).
חוג הפולינומים \(\MKfield\left[x\right]\) מעל שדה \(\MKfield\).
החוג המודולרי \(\MKinteger_{n}\) - לכל שני מספרים שלמים בקבוצה \(\left\{ 0,1,\ldots,n-1\right\} \) נגדיר את פעולות החיבור והכפל ע"י החיבור ב-\(\MKinteger\), וכדי שנקבל איבר בקבוצה נחלק ב-\(n\) עם שארית וניקח את השארית; ראינו בליניארית1שאם \(n\) ראשוני אז \(\MKinteger_{n}\) הוא שדה.
מרחב המטריצות \(M_{n}\left(\MKfield\right)\) מעל שדה \(\MKfield\) עם פעולות החיבור וכפל מטריצות (דוגמה זו היא הדוגמה היחידה ברשימה לחוג שאינו חילופי), ובהתאמה עבור מ"ו נ"ס \(V\) גם \(\MKend\left(V\right)\) (שהוא מרחב ההעתקות הליניאריות מ-\(V\) לעצמו) הוא חוג ביחס לחיבור העתקות ליניאריות והרכבתן.
הגדרה 1.3. חוג \(R\) ייקרא חוג חילוק אם לכל \(0\neq r\in R\) קיים \(s\in R\) כך ש-\(s\cdot r=1=r\cdot s\).
יהי \(R\) חוג.
סימון:
נסמן \(R^{*}:=R^{\times}:=\left\{ a\in R\mid\exists x\in R\ a\cdot x=1\right\} \), כלומר \(R^{\times}\) היא קבוצת האיברים ב-\(R\) שיש להם הופכי ימני4הדרישה שההופכי יהיה ימני היא מפני שהגדרנו גם את \(1\) בתור איבר יחידה ימני, ורק במקרה כזה המסקנה הבאה תהיה תקפה..
\(\clubsuit\)
איבר היחידה הוא \(1\) וההופכי הוא ההופכי השמאלי, כלומר אנו טוענים ש-\(1\) הוא גם איבר יחידה ימני עבור האיברים ב-\(R^{\times}\) וההופכי השמאלי הוא גם הופכי ימני(.
\(\clubsuit\)
ראינו את הטענה הזו בקורס הקודם )הטענה השנייה בקובצי הטענות וההוכחות(.
\(\clubsuit\)
במילים אחרות תת-קבוצה \(I\subseteq R\) תיקרא אידאל שמאלי/ימני של \(R\) אם \(\left(I,+,0\right)\) היא תת-חבורה של \(R\) ובנוסף לכל \(a\in I\) ולכל \(r\in R\) מתקיים \(r\cdot a\) או \(a\cdot r\) )בהתאמה(.
סימון:
אם תת-קבוצה \(I\subseteq R\) היא אכן אידיאל נסמן זאת ע"י \(I\trianglelefteq R\) או ב-\(I\vartriangleleft R\).
\(\clubsuit\)
זה לא מיקרי שהסימון של אידיאל הוא אותו סימון של תת-חבורה נורמלית, אנחנו נראה שיש בין שני המושגים דמיון רב.
סימון:
עבור קבוצה סופית \(\left\{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\right\} \subseteq R\) נכתוב גם \(\left(s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\right):=\left(\left\{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\right\} \right)\).
\(\clubsuit\)
בעוד שאכן מתקיים \(\left(a+b+I\right)=\left\{ a+b+i\mid i\in I\right\} =\left\{ a+i+b+j\mid i,j\in I\right\} \), מתקיים רק \(a\cdot b+I\subseteq\left\{ a\cdot b+aI+bI+I\mid i,j\in I\right\} =\left\{ \left(a+i\right)\left(b+j\right)\mid i,j\in I\right\} \).
מסקנה 1.4. \(R^{\times}\) היא חבורה ביחס לכפל של \(R\); חבורה זו נקראת החבורה הכפלית5להבדיל מהחבורה החיבורית שהיא החוג כולו ביחס לפעולת החיבור.של \(R\) (או חבורת היחידות של \(R\)).
הגדרה 1.5. תת-חוג תת-קבוצה \(S\subseteq R\) תיקרא תת-חוג של \(R\) אם היא סגורה לחיבור, לכפל ולנגדי6לכל \(a\in S\) גם \(-a\in S\)., ובנוסף \(1_{R}\in S\); במקרה כזה נסמן \(S\leqslant R\).
מסקנה 1.6. כל תת-חוג של \(R\) הוא חוג בפני עצמו ביחס לאותן פעולות חיבור וכפל ואותם איברים אדישים.
הגדרה 1.7. אידיאל
תת-קבוצה \(I\subseteq R\) תיקרא אידיאל שמאלי של \(R\) אם לכל \(a,b\in I\) מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
\(0\in I\) )כמו תמיד, ניתן להחליף תנאי זה בכך ש-\(I\neq\emptyset\)(.
לכל \(a,b\in I\) מתקיים \(a+b\in I\).
לכל \(a\in I\) ולכל \(r\in R\) מתקיים \(r\cdot a\).
תת-קבוצה \(I\subseteq R\) תיקרא אידיאל ימני של \(R\) אם לכל \(a,b\in I\) מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
\(0\in I\) )כמו תמיד, ניתן להחליף תנאי זה בכך ש-\(I\neq\emptyset\)(.
לכל \(a,b\in I\) מתקיים \(a+b\in I\).
לכל \(a\in I\) ולכל \(r\in R\) מתקיים \(a\cdot r\).
תת-קבוצה \(I\subseteq R\) תיקרא אידיאל דו-צדדי )או סתם אידיאל( אם היא אידיאל שמאלי וגם אידיאל ימני.
האידיאלים שנדבר עליהם מכאן ואילך הם אידיאלים דו-צדדיים.
הגדרה 1.8. אידיאל \(I\trianglelefteq R\) ייקרא טריוויאלי אם \(I=R\) ו/או \(I=\left\{ 0\right\} \).
הגדרה 1.9. נאמר ש-\(R\) הוא חוג פשוט אם \(R\neq\left\{ 0\right\} \) והאידיאלים היחידים של \(R\) הם הטריוויאליים.
הגדרה 1.10. אידיאל \(I\trianglelefteq R\) ייקרא מקסימלי אם \(I\neq R\) והאידיאלים היחידים של \(R\) המכילים את \(I\) הם \(R\) ו-\(I\).
לא ברור לי אם בקורס שלנו דורשים את התנאי ש-\(I\neq R\) כדי שיהיה מקסימלי או ש-\(R\) כן נחשב מקסימלי.
טענה. תהא \(X\) קבוצת אידיאלים של \(R\), החיתוך של כל האידיאלים ב-\(X\) הוא אידיאל של \(R\), וזהו האידיאל הגדול ביותר )ביחס להכלה( שמוכל בכל האידיאלים ב-\(X\).
הגדרה 1.11. תהא \(S\subseteq R\) תת-קבוצה, האידיאל הנוצר ע"י \(S\) )מסומן ע"י \(\left(S\right)\)( הוא חיתוך כל האידיאלים המכילים את \(S\).
מסקנה 1.12. תהא \(S\subseteq R\) תת-קבוצה, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
\(\left(S\right)\) הוא אידיאל של \(R\).
\(S\subseteq\left(S\right)\).
לכל אידיאל \(I\trianglelefteq R\) המכיל את \(S\) מתקיים \(\left(S\right)\subseteq I\).
הגדרה 1.13. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, נאמר שתת-קבוצה \(S\subseteq I\) היא קבוצת יוצרים של \(I\) אם \(I=\left(S\right)\).
הגדרה 1.14. נאמר שאידיאל \(I\trianglelefteq R\)נוצר סופית אם הוא נוצר ע"י קבוצה סופית \(S\subseteq R\), וכמו כן נאמר שאידיאל \(I\trianglelefteq R\) הוא אידיאל ראשי אם קיים \(a\in R\) כך ש-\(I=\left(a\right)\).
למה 1.15. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, \(I\) הוא תת-חבורה נורמלית של \(\left(R,+,0\right)\) ולכן מוגדרת על חבורת המנה \(\nicefrac{R}{I}\) פעולת חיבור. נגדיר על \(\nicefrac{R}{I}\) פעולת כפל ע"י )לכל \(a,b\in R\)(:\[
\left(a+I\right)\cdot\left(b+I\right):=a\cdot b+I
\]פעולה זו אכן מוגדרת היטב, ו-\(\left(\nicefrac{R}{I},+,\cdot,I,1+I\right)\) הוא חוג.
הגדרה 1.16. לכל אידיאל \(I\trianglelefteq R\) נקרא לחוג שבלמה הקודמת )1.13( חוג המנה של \(I\).
יהי \(R\) חוג.
1.2 התחלה
משפט 1.17. לכל \(a\in R\) מתקיים \(a\cdot0=0\cdot a=0\).
מסקנה 1.18. אם יש ב-\(R\) שני איברים שונים אז \(1\neq0\) )כמובן שגם הכיוון ההפוך נכון(.
משפט 1.19. יחידות האיבר האדיש לחיבור יהיו \(a,b\in R\), אם \(a+b=a\) אז \(b=0\).
מסקנה 1.20. יחידות הנגדי יהיו \(a,b,c\in R\), אם \(a+b=0\) וגם \(a+c=0\) אז \(b=c\).
\(\clubsuit\)
בגלל מסקנה זו יש משמעות לסימון \(-a\) עבור \(a\in R\).
\(\clubsuit\)
מתקיים \(-0=0\).
משפט 1.21. לכל \(a\in R\) מתקיים \(a\cdot1=1\cdot a=a\).
טענה 1.22. לכל \(a,b\in F\) מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
טענה 1.23. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, אם יש ב-\(I\) איבר הפיך )\(I\cap R^{\times}\neq\emptyset\)( אז \(I=R\).
טענה 1.24. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, \(I\) מקסימלי אם"ם \(\nicefrac{R}{I}\) הוא חוג פשוט.
משפט 1.25. לכל אידיאל \(I\trianglelefteq R\) כך ש-\(I\neq R\) קיים אידיאל מקסימלי \(M\trianglelefteq R\) כך ש-\(I\subseteq M\).
טענה 1.26. תהא \(X\) קבוצת אידיאלים של \(R\), החיתוך של כל האידיאלים ב-\(X\) הוא אידיאל של \(R\), וזהו האידיאל הגדול ביותר )ביחס להכלה( שמוכל בכל האידיאלים ב-\(X\).
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שיש כאן כמה אפשרויות:
\(X\) יכולה להיות סופית ואז קיימים אידיאלים \(I_{1},I_{2},\ldots,I_{r}\subseteq R\) כך ש-\(X=\left\{ I_{1},I_{2},\ldots,I_{r}\right\} \), ואז החיתוך של כל האידיאלים בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{i=1}^{r}I_{i}
\]
\(X\) יכולה להיות אין-סופית בת-מנייה, כלומר ניתן לסדר את איבריה בסדרה אינסופית: \(X=\left\{ I_{1},I_{2},\ldots\right\} \) ואז החיתוך של כל האידיאלים בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{i=1}^{\infty}I_{i}
\]
\(X\) יכולה להיות אין-סופית שאינה בת-מנייה, כלומר א"א לסדר את איבריה בסדרה אינסופית, ואז החיתוך של כל האידיאלים בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{I\in X}I
\]
בכל מקרה החיתוך של כל האידיאלים ב-\(X\) הוא הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
r\in R & \forall I\in X:r\in I\end{array}\right\}
\]
טענה 1.28. יהיו \(I,J\trianglelefteq R\) שני אידיאלים, הקבוצה \(I+J=\left\{ i+j\mid i\in I,\ j\in J\right\} \) גם היא אידיאל, וזהו האידיאל הקטן ביותר )ביחס להכלה( שמכיל הן את \(I\) והן את \(J\).
טענה 1.29. לכל שני אידיאלים \(I,J\trianglelefteq R\), הקבוצה \(IJ:=\left\{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\mid n\in\MKnatural_{0},\ \forall n\geq i\in\MKnatural\ x_{i}\in I\land y_{i}\in J\right\} \) גם היא אידיאל.
אני מנחש ששלוש הטענות האחרונות נכונות גם עבור אידיאלים ימניים/שמאליים )בנפרד כמובן(.
2 הומומורפיזמים
2.1 הגדרות
יהיו \(R\) ו-\(S\) חוגים.
הגדרה 2.1. הומומורפיזם פונקציה \(\varphi:R\rightarrow S\) תיקרא הומומורפיזם )של חוגים( אם היא מקיימת את שלושת התנאים הבאים:
לכל \(a,b\in R\) מתקיים \(\varphi\left(a+b\right)=\varphi\left(a\right)+\varphi\left(b\right)\).
לכל \(a,b\in R\) מתקיים \(\varphi\left(a\cdot b\right)=\varphi\left(a\right)\cdot\varphi\left(b\right)\).
מתקיים \(\varphi\left(1_{R}\right)=1_{S}\).
\(\clubsuit\)
התנאי השלישי אינו נובע משני האחרים - העתקת האפס מקיימת את שני הראשונים אך אינה מקיימת אותו.
הגדרה 2.2. יהי \(\varphi:R\rightarrow S\) הומומורפיזם.
נאמר ש-\(\varphi\) הוא מונומורפיזם )או שיכון( אם הוא חחע, ובמקרה כזה נסמן גם \(\varphi:R\hookrightarrow S\).
נאמר ש-\(\varphi\) הוא אפימורפיזם )ביחס ל-\(S\)7אנחנו נראה בקובץ הטענות שהתמונה של כל הומומורפיזם היא תת-חוג של הטווח ולכן \(\varphi\) הוא אפימורפיזם ביחס ל-\(\MKim\varphi\).( אם הוא על, ובמקרה כזה נסמן גם \(\varphi:R\twoheadrightarrow S\).
נאמר ש-\(\varphi\) הוא איזומורפיזם )ביחס ל-\(S\)( אם הוא חחע ועל8כלומר \(\varphi\) הוא מונורמפיזם ואפימורפיזם., ובמקרה כזה נסמן גם \(\varphi:R\stackrel{\sim}{\rightarrow}S\).
נאמר ש-\(\varphi\) הוא אנדומורפיזם אם \(R=S\), קבוצת האנדומורפיזמים של \(R\) מסומנת ב-\(\MKend\left(R\right)\).
נאמר ש-\(\varphi\) הוא אוטומורפיזם אם הוא חחע ועל ובנוסף \(R=S\)9כלומר אם \(\varphi\) הוא איזומורפיזם ואנדומורפיזם., קבוצת האוטומורפיזמים של \(R\) מסומנת ב-\(\MKaut\left(R\right)\).
הגדרה 2.3. יהי \(\varphi:R\rightarrow S\) הומומורפיזם, הגרעין של \(\varphi\) הוא הקבוצה:\[
\ker\varphi:=\left\{ r\in R:\varphi\left(r\right)=0_{S}\right\}
\]
טענה 2.4. הפונקציה ההופכית של איזומורפיזם גם היא איזומורפיזם.
טענה. הרכבה של הומומורפיזמים היא הומומורפיזם, והרכבה של איזומורפיזמים היא איזומורפיזם.
הגדרה 2.5. נאמר ש-\(R\) ו-\(S\)איזומורפיים זה לזה אם קיים איזומורפיזם \(\varphi:R\rightarrow S\), ובמקרה כזה נסמן \(R\cong S\) )איזומורפיות הוא יחס שקילות(.
יהי \(R\) חוג.
2.2 התחלה
טענה 2.6. הרכבה של הומומורפיזמים היא הומומורפיזם, והרכבה של איזומורפיזמים היא איזומורפיזם.
מסקנה 2.7. \(\MKaut\left(R\right)\) היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.
טענה 2.8. יהיו \(S\) חוג ו-\(\varphi:R\rightarrow S\) הומומורפיזם. מתקיים \(\ker\varphi\trianglelefteq R\) ו-\(\MKim\varphi\leqslant S\); כלומר \(\ker\varphi\) הוא אידיאל של \(R\), ו-\(\MKim\varphi\) הוא תת-חוג של \(S\).
\(\clubsuit\)
טענה זו לא הייתה נכונה אם לא היינו דורשים ש-\(\varphi\left(1_{R}\right)=1_{S}\), שכן אז העתקת האפס הייתה נחשבת הומומורפיזם ותמונתה לא הייתה תת-חוג של הטווח.
מסקנה 2.9. כל הומומורפיזם הוא אפימורפיזם ביחס לתמונתו, וכמו כן כל מונומורפיזם הוא איזומורפיזם בין תחום ההגדרה שלו לתמונתו.
למה 2.10. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, פונקציית ההטלה של \(I\) )כתת-חבורה חיבורית של \(R\)( היא הומומורפיזם.
מסקנה 2.11. \(\:\)
תת-קבוצה \(S\subseteq R\) היא תת-חוג של \(R\) אםם היא תמונה של הומומורפיזם.
תת-קבוצה \(I\subseteq R\) היא אידיאל של \(R\) אםם היא גרעין של הומומורפיזם.
משפט 2.12. משפט קיילי לחוגים10ערך בוויקיפדיה: קיילי ארתור. קיימת חבורה אבלית \(A\) כך ש-\(R\) ניתן לשיכון ב-\(\MKend\left(A\right)\), כלומר \(R\) איזומורפי לתת-חוג של \(\MKend\left(A\right)\).
2.3 משפטי האיזומורפיזם לחוגים
משפט 2.13. משפט האיזומורפיזם הראשון יהיו \(S\) חוג ו-\(\varphi:R\rightarrow S\) הומומורפיזם, מתקיים:\[
\nicefrac{R}{\ker\varphi}\cong\MKim\varphi
\]
מסקנה 2.14. משפט האיזומורפיזם השני יהיו \(S\leqslant R\) תת-חוג ו-\(I\trianglelefteq R\) אידיאל; מתקיים \(S\cap I\trianglelefteq S\) ו-\(S+I\leqslant R\), ובנוסף:\[
\nicefrac{S+I}{I}\cong\nicefrac{S}{S\cap I}
\]
משפט 2.15. משפט האיזומורפיזם השלישי יהיו \(I,J\trianglelefteq R\) אידיאלים כך ש-\(I\subseteq J\), מתקיים:\[
\left(\nicefrac{R}{J}\right)/\left(\nicefrac{J}{I}\right)\cong\nicefrac{R}{I}
\]
משפט 2.16. משפט ההתאמה11יש המכנים משפט זה בשם "משפט האיזומורפיזם הרביעי", למרות שבעצם אין בו איזומורפיזם בין חוגים. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל ונסמן ב-\(\pi\) את הומומורפיזם ההטלה הקנוני של \(I\). קיימת התאמה משמרת הכלה, חח"ע ועל, בין תתי-חוגים של \(R\) המכילים את \(I\) לבין תתי-חוגים של \(\nicefrac{R}{I}\). התאמה זו היא הפונקציה \(f:\left\{ S\leqslant R\mid I\subseteq S\right\} \rightarrow\left\{ L\mid L\leqslant\nicefrac{R}{I}\right\} \) המוגדרת ע"י )לכל \(S\leqslant R\) כך ש-\(I\subseteq S\)(12נזכיר ש-\(\pi\) היא פונקציה מ-\(R\) ל-\(\nicefrac{R}{I}\) )תחום ההגדרה שלה אינו זה של \(f\)(, ופירושו של הסימון "\(\pi\left(S\right)\)" הוא \(\left\{ \pi\left(s\right)\mid s\in S\right\} \).:\[
f\left(S\right):=\nicefrac{S}{I}=\nicefrac{S+I}{I}=\pi\left(S\right)
\]כמו כן קיימת התאמה משמרת הכלה, חח"ע ועל, בין אידיאלים של \(R\) המכילים את \(I\) לבין אידיאלים של \(\nicefrac{R}{I}\). התאמה זו היא הפונקציה \(g:\left\{ J\trianglelefteq R\mid I\subseteq I\right\} \rightarrow\left\{ L\mid L\trianglelefteq\nicefrac{R}{I}\right\} \) המוגדרת ע"י )לכל \(J\trianglelefteq R\) כך ש-\(I\subseteq J\)(:\[
g\left(J\right):=\pi\left(J\right)
\]כלומר משפט ההתאמה טוען כי:
\(f\) הנ"ל היא פונקציה חח"ע ועל )כלומר הפיכה, ההופכית שלה מוגדרות ע"י \(f^{-1}\left(L\right):=\pi^{-1}\left(L\right)\)13גם כאן נזכיר ש-\(\pi\) כלל אינו מוכרח להיות הפיך, פירושו של הסימון "\(\pi^{-1}\left(L\right)\)" הוא \(\left\{ r\in R\mid\pi\left(r\right)\in L\right\} \). לכל \(S\leqslant\nicefrac{R}{I}\)(, ולכל \(I\leqslant S,K\leqslant G\) מתקיים:\[
K\leqslant S\Longleftrightarrow\nicefrac{K}{I}=f\left(K\right)\leqslant f\left(S\right)=\nicefrac{S}{N}
\]
\(g\) הנ"ל היא פונקציה חח"ע ועל )כלומר הפיכה, ההופכית שלה מוגדרות ע"י \(g^{-1}\left(L\right):=\pi^{-1}\left(L\right)\) לכל \(J+I\trianglelefteq\nicefrac{R}{I}\)(, ולכל \(I\leqslant J,K\leqslant G\) מתקיים:\[
K\subseteq J\Longleftrightarrow g\left(K\right)\trianglelefteq g\left(J\right)
\]
\(\:\)
3 חוגים חילופיים )קומוטטיביים(
3.1 הגדרות
הגדרה 3.1. חוג חילופי חוג \(R\) ייקרא חוג חילופי )או קומוטטיבי( אם בנוסף להיותו חוג הכפל שלו מקיים את חוק החילוף )קומוטטיבי(, כלומר לכל \(a,b\in R\) מתקיים \(a\cdot b=b\cdot a\).
\(\clubsuit\)
בחוג חילופי כל אידיאל שמאלי/ימני הוא אידיאל דו-צדדי.
\(\clubsuit\)
מבין כל החוגים שראינו עד כה רק חוג המטריצות אינו חוג חילופי.
\(\clubsuit\)
נוהגים לסמן מחלק משותף מקסימלי ב-\(\gcd\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\) או ב-\(\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\), אבל בניגוד לחוג השלמים שבו קיימים בדיוק שני מחלקים משותפים מקסימליים ואנו בוחרים את החיובי מביניהם, בחוגים כלליים אין דרך לבחור באופן קנוני אחד מהמחלקים המשותפים המקסימליים ולכן סימון זה אינו מוגדר; עם זאת, כפי שאמרנו נוהגים לכתוב כך אך יש לשים לב לכך שלא מודבר באיבר קבוע.
\(\clubsuit\)
בחוגים כלליים ייתכן שקיימים איברים שעבורם אין מחלק משותף מקסימלי.
\(\clubsuit\)
מבין כל החוגים החילופיים שראינו עד כה רק החוג המודולרי \(\MKinteger_{n}\) אינו תחום שלמות )כאשר \(n\) אינו ראשוני(.
סימון:
נסמן \(X:=\left\{ \left(a,b\right)\in R^{2}\mid b\neq0\right\} \) ונגדיר על \(X\) את היחס הבא14פורמלית \(\sim:=\left\{ \left(\left(a,b\right),\left(c,d\right)\right)\in X^{2}\mid ad=bc\right\} \).:\[
\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right)\Longleftrightarrow ad=bc
\]
סימון:
נסמן ב-\(\frac{a}{b}\) את מחלקת השקילות של \(\left(a,b\right)\) לכל \(\left(a,b\right)\in X\), כמו כן נסמן:\[
Q:=\left\{ \begin{array}{c|c}
\frac{a}{b} & a,b\in R,\ b\neq0\end{array}\right\}
\]ונגדיר על \(Q\) פעולות חיבור וכפל ע"י )לכל \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in Q\)(:\[\begin{align*}
\frac{a}{b}+\frac{c}{d} & :=\frac{ad+bc}{bd}\\
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} & :=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
כמובן שיש לבדוק שהפעולות מוגדרות היטב ולא תלויות בבחירת הנציגים.
\(\clubsuit\)
כמובן שההשראה להגדרה זו הגיעה מהבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג השלמים.
\(\clubsuit\)
כמובן שהשיכון הפשוט ביותר הוא \(r\mapsto\frac{r}{1}\).
\(\clubsuit\)
למרות השם לא מדובר בפונקציות ממש - נזכור ששני פולינומים יכולים להיות שונים למרות שהפונקציות שהם מגדירים שוות.
הגדרה 3.2. המֶרְכָּז המרכז של חוג \(R\) הוא הקבוצה \(Z\left(R\right):=\left\{ z\in R\mid\forall r\in R\ rz=zr\right\} \).
מסקנה 3.3. המרכז של כל חוג הוא תת-חוג חילופי.
יהי \(R\) חוג חילופי שאינו טריוויאלי.
הגדרה 3.4. יהיו \(a,b\in R\), נאמר ש-\(a\)מחלק את \(b\), ונסמן \(a\mid b\), אם קיים \(q\in R\) כך ש-\(b=a\cdot q\).
הגדרה 3.5. יהיו \(a,b\in R\), נאמר ש-\(a\) ו-\(b\) הם איברים חברים15אין לבלבל בין המושג "חברות" (associatedness) למושג "ידידות" של מספרים ידידים (amicable numbers)., ונסמן \(a\sim b\) אם \(a\mid b\) וגם \(b\mid a\).
מסקנה 3.6. חברות הוא יחס שקילות.
הגדרה 3.7. איבר \(0\neq r\in R\) שאינו הפיך ייקרא אי-פריק אם לכל \(a,b\in R\) כך ש-\(r=a\cdot b\), \(r\) ו-\(a\) ידידים ו/או ש-\(r\) ו-\(b\) ידידים, אחרת ייקרא פריק.
הגדרה 3.8. איבר \(0\neq p\in R\) שאינו הפיך ייקרא ראשוני אם לכל \(a,b\in R\) כך ש-\(p=a\cdot b\) מתקיים \(p\mid a\) ו/או \(p\mid b\).
הגדרה 3.9. אידיאל \(I\trianglelefteq R\) ייקרא אידיאל ראשוני אם \(I\neq R\) ולכל \(a,b\in R\) כך ש-\(a\cdot b\in I\) מתקיים \(a\in I\) /ואו \(b\in I\).
מסקנה 3.10. לכל איבר \(0\neq p\in R\) שאינו הפיך מתקיים: \(p\) ראשוני אם"ם \(\left(p\right)\) הוא אידיאל ראשוני.
הגדרה 3.11. יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in R\) שלפחות אחד מהם שונה מ-\(0\), איבר \(d\in R\) ייקרא מחלק משותף מקסימלי )ובקיצור ממ"מ אוgcd( של \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\) אם הוא מקיים את שני התנאים הבאים:
\(d\mid a_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) )כלומר \(d\) הוא מחלק משותף(.
לכל \(\tilde{d}\in\MKreal\) כך ש-\(\tilde{d}\mid a_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\), מתקיים \(d\mid\tilde{d}\).
מסקנה 3.12. לכל \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in R\) שלפחות אחד מהם שונה מ-\(0\), כל שני מחלקים משותפים מקסימליים של \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\) הם ידידים.
מה עם כפולה משותפת מינימלית?
הגדרה 3.13. נאמר שאיבר \(0\neq a\in R\) הוא מחלק אפס אם קיים \(0\neq b\in R\) כך ש-\(a\cdot b=0\).
הגדרה 3.14. תחום שלמות נאמר ש-\(R\) הוא תחום שלמות אם אין בו מחלקי אפס, כלומר לכל \(a,b\in R\) כך ש-\(a\cdot b=0\) מתקיים \(a=0\) ו/או \(b=0\).
נניח ש-\(R\) הוא תחום שלמות.
למה. היחס הנ"ל הוא יחס שקילות.
למה. \(Q\) הוא שדה ביחס לפעולות החיבור והכפל הנ"ל, כאשר האיבר האדיש לחיבור הוא \(\frac{0}{1}\) והאיבר האדיש לכפל הוא \(\frac{1}{1}\).
הגדרה 3.15. \(Q\) ייקרא שדה השברים של \(R\).
מסקנה. \(R\) ניתן לשיכון בתוך \(Q\), כלומר קיים מונומורפיזם \(\varphi:R\rightarrow Q\).
מסקנה. חוג ניתן לשיכון בשדה אם"ם הוא תחום שלמות.
הגדרה 3.16. שדה השברים של \(\MKfield\left[x\right]\) ייקרא שדה הפונקציות הרציונליות.
הגדרה 3.17. \(R\)16אנחנו עדיין תחת ההנחה ש-\(R\) הוא תחום שלמות, וכן בשתי ההגדרות הבאות )תחומים ראשיים וחוגים אוקלידיים(. ייקרא תחום פריקות חד-ערכית )או בקיצור תחום פח"ע( אם לכל איבר \(0\neq r\in R\) שאינו הפיך קיימים \(p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}\in R\) אי-פריקים יחידים )עד כדי שינוי סדר וחברות(, אך לאו דווקא שונים זה מזה, כך שמתקיים:\[
r=\prod_{i=1}^{n}p_{i}
\]כלומר אם גם \(q_{1},q_{2},\ldots,q_{s}\in R\) הם אי-פריקים המקיימים \(r=q_{1}\cdot q_{2}\cdot\ldots\cdot q_{s}\) אז קיימת פונקציה חח"ע ועל \(f:\left\{ i\in\MKnatural\mid i\leq n\right\} \rightarrow\left\{ i\in\MKnatural\mid i\leq s\right\} \) כך ש-\(p_{i}\) ו-\(q_{f\left(i\right)}\) הם חברים לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
הגדרה 3.18. \(R\) ייקרא תחום ראשי אם כל אידיאל שלו הוא אידיאל ראשי.
להביא דוגמאות לתחומי פח"ע שאינם תחומים ראשיים.
להביא דוגמאות לתחומים ראשיים שאינם תחומים אוקלידיים.
הגדרה 3.19. \(R\) ייקרא חוג אוקלידי )או תחום אוקלידי( אם קיימת פונקציה \(N:R\setminus\left\{ 0\right\} \rightarrow\MKnatural_{0}\) המקיימת שלכל \(a,b\in R\) כך ש-\(b\neq0\), קיימים \(q,r\in R\) המקיימים \(a=q\cdot b+r\), ובנוסף \(N\left(r\right)<N\left(b\right)\) או ש-\(r=0\); \(N\) כזו תיקרא נורמה או דרגה.
יהי \(R\) חוג חילופי שאינו טריוויאלי.
3.2 יחס החלוקה
טענה 3.20. לכל \(a,b\in R\) מתקיים \(a\mid b\Longleftrightarrow\left(b\right)\subseteq\left(a\right)\).
טענה 3.21. יהיו \(a,b\in R\), התנאים הבאים שקולים:
\(a\) ו-\(b\) חברים.
\(\left(a\right)=\left(b\right)\).
קיים איבר הפיך \(r\in R^{\times}\) כך ש-\(a=r\cdot b\).
טענה 3.22. איבר לא הפיך \(0\neq r\in R\) הוא אי-פריק אם"ם לכל \(a\in R\) כך ש-\(\left(r\right)\subseteq\left(a\right)\) מתקיים \(\left(a\right)=\left(r\right)\) או ש-\(\left(a\right)=R\).
טענה 3.23. \(R\) הוא שדה אם"ם הוא חוג פשוט.
מסקנה 3.24. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, \(\nicefrac{R}{I}\) הוא שדה אם"ם \(I\) הוא אידיאל מקסימלי.
משפט השאריות הסיני לחוגים
טענה 3.25. יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in R\) שלפחות אחד מהם שונה מ-\(0\), ונסמן \(I:=\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\) )כלומר \(I\) הוא האידיאל הנוצר ע"י \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\)(. איבר \(d\in R\) הוא מחלק משותף מקסימלי של \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\) אם"ם מתקיימים שני התנאים הבאים:
\(I\subseteq\left(d\right)\).
לכל \(\tilde{d}\in R\) כך ש-\(I\subseteq\left(\tilde{d}\right)\) מתקיים \(\left(d\right)\subseteq\left(\tilde{d}\right)\).
3.3 תחומי שלמות
טענה 3.26. יהי \(I\trianglelefteq R\) אידיאל, \(I\) הוא אידיאל ראשוני אם"ם \(\nicefrac{R}{I}\) הוא תחום שלמות.
מסקנה 3.27. כל אידיאל מקסימלי ב-\(R\) הוא אידיאל ראשוני.
נניח ש-\(R\) הוא תחום שלמות.
סימון:
נסמן \(X:=\left\{ \left(a,b\right)\in R^{2}\mid b\neq0\right\} \) ונגדיר על \(X\) את היחס הבא17פורמלית \(\sim:=\left\{ \left(\left(a,b\right),\left(c,d\right)\right)\in X^{2}\mid ad=bc\right\} \):\[
\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right)\Longleftrightarrow ad=bc
\]
סימון:
נסמן ב-\(\frac{a}{b}\) את מחלקת השקילות של \(\left(a,b\right)\) לכל \(\left(a,b\right)\in X\), כמו כן נסמן:\[
Q:=\left\{ \begin{array}{c|c}
\frac{a}{b} & a,b\in R,\ b\neq0\end{array}\right\}
\]ונגדיר על \(Q\) פעולות חיבור וכפל ע"י )לכל \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in Q\)(:\[\begin{align*}
\frac{a}{b}+\frac{c}{d} & :=\frac{ad+bc}{bd}\\
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} & :=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
כמובן שיש לבדוק שהפעולות מוגדרות היטב ולא תלויות בבחירת הנציגים.
\(\clubsuit\)
כמובן שהשיכון הפשוט ביותר הוא \(r\mapsto\frac{r}{1}\).
למה 3.28. היחס הנ"ל הוא יחס שקילות.
למה 3.29. \(Q\) הוא שדה ביחס לפעולות החיבור והכפל הנ"ל, כאשר האיבר האדיש לחיבור הוא \(\frac{0}{1}\) והאיבר האדיש לכפל הוא \(\frac{1}{1}\).
מסקנה 3.30. \(R\) ניתן לשיכון בתוך \(Q\), כלומר קיים מונומורפיזם \(\varphi:R\rightarrow Q\).
מסקנה 3.31. חוג ניתן לשיכון בשדה אם"ם הוא תחום שלמות.
טענה 3.32. יהי \(\MKfield\) שדה, לכל מונומורפיזם \(\varphi:R\rightarrow\MKfield\) קיים מונומורפיזם \(\hat{\varphi}:Q\rightarrow\MKfield\) כך ש-\(\hat{\varphi}\mid_{R}=\varphi\).
משפט 3.33. כל תחום שלמות סופי הוא שדה.
3.4 תחומי פריקות חד-ערכית
נניח ש-\(R\) הוא תחום פריקות חד-ערכית.
משפט 3.34. איבר \(r\in R\) הוא אי-פריק אם"ם הוא ראשוני.
בתחום פח"ע ה-\(\gcd\) מוגדר לכל שני איברים וניתן להציג אותו ע"י הפירוק לגורמים, ולהסיק מכאן כיצד נראה גם ה-\(\MKlcm\).
3.5 תחומים ראשיים
משפט 3.35. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות חד-ערכית.
נניח ש-\(R\) הוא תחום ראשי.
טענה 3.36. איבר \(0\neq r\in R\) הוא אי-פריק/ראשוני אם"ם \(\left(r\right)\) הוא אידיאל מקסימלי.
מסקנה 3.37. לכל אידיאל \(\left\{ 0\right\} \neq I\trianglelefteq R\)מתקיים: \(I\) הוא אידיאל מקסימלי אם"ם \(I\) הוא אידיאל ראשוני.
טענה 3.38. יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in R\) שלפחות אחד מהם שונה מ-\(0\), ונסמן \(I:=\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\) )כלומר \(I\) הוא האידיאל הנוצר ע"י \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\)(. יש ל-\(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\) מחלק משותף מקסימלי \(d\in R\), מתקיים \(I=\left(d\right)\), וממילא קיימים \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in R\) כך שמתקיים:\[
d=x_{1}\cdot a_{1}+x_{2}\cdot a_{2}+\ldots+x_{n}\cdot a_{n}
\]
3.6 חוגים אוקלידיים
משפט 3.39. כל תחום אוקלידי הוא תחום ראשי, ולפיכך גם תחום פריקות חד-ערכית.
נניח ש-\(R\) הוא תחום אוקלידי, ונסמן ב-\(N\) את הנורמה שלו.
מסקנה 3.40. לכל \(\left\{ 0\right\} \neq I\trianglelefteq R\) מתקיים \(\left(d\right)=I\) לכל \(d\in I\) בעל נורמה מינימלית מבין כל האיברים ב-\(I\).
יהיו \(r_{0},r_{1}\in R\) כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס, נרצה למצוא מחלק משותף מקסימלי של \(r_{0}\) ו-\(r_{1}\). לאלגוריתם ישנן שתי גרסאות: האלגוריתם הבסיסי והאלגוריתם המורחב, להלן הפירוט של שניהם בפסאודו-קוד.
אלגוריתם אוקלידס הבסיסי
נגדיר \(i:=0\).כל עוד \(r_{i+1}\neq0\):
נחלק את \(r_{i}\) ב-\(r_{i+1}\) עם שארית, נסמן ב-\(q_{i}\) את המנה וב-\(r_{i+2}\) את השארית )כלומר יהיו \(q_{i},r_{i+2}\in R\) כך ש-\(0\leq N\left(r_{i+2}\right)<N\left(r_{i+1}\right)\) או ש-\(r_{i+2}=0\) וגם \(r_{i}=r_{i+1}\cdot q_{i}+r_{i+2}\)(.
נגדיר את \(i\) להיות \(i+1\) ונעבור לשלב הבא בלולאה.
כעת מתקיים \(r_{i+1}=0\), א"כ \(r_{i}\) הוא מחלק משותף מקסימלי של \(r_{0}\) ו-\(r_{1}\), ולכן נחזיר את \(r_{i}\) ונסיים.
אלגוריתם אוקלידס המורחב
נגדיר \(i:=0\).נגדיר \({\color{red}a_{-1}:=0}\) ו-\({\color{blue}b_{-1}:=1}\) ומכאן שמתקיים:\[
r_{1}={\color{red}a_{-1}}\cdot r_{0}+{\color{blue}b_{-1}}\cdot r_{1}
\]כל עוד \(r_{i+1}\neq0\):
נחלק את \(r_{i}\) ב-\(r_{i+1}\) עם שארית, נסמן ב-\(q_{i}\) את המנה וב-\(r_{i+2}\) את השארית.
נחלק למקרים:
אם \(i=0\) אז נגדיר \({\color{red}a_{0}:=1}\) ו-\({\color{blue}b_{0}:=-q_{0}}\).
אחרת, נגדיר \({\color{red}a_{i}=a_{i-2}-q_{i}\cdot a_{i-1}}\) ו-\({\color{blue}b_{i}:=b_{i-2}-q_{i}\cdot b_{i-1}}\).
נגדיר את \(i\) להיות \(i+1\) ונעבור לשלב הבא בלולאה.
כעת מתקיים \(r_{i+1}=0\), \(r_{i}\) הוא מחלק משותף מקסימלי של \(r_{0}\) ו-\(r_{1}\), ובנוסף:\[
\gcd\left(r_{0},r_{1}\right)=r_{i}=a_{i-2}\cdot r_{0}+b_{i-2}\cdot r_{1}
\]
הלמה של גאוס נכונה עבור כל תחום פריקות חד-ערכית )במקרה הזה \(\MKinteger\)( ושדה השברים שלו )במקרה הזה \(\MKrational\)(.
\(\clubsuit\)
לא כל פולינום אי-פריק ב-\(\MKinteger\left[x\right]\) הוא גם אי-פריק ב-\(\MKrational\left[x\right]\), אמנם נובע מהמשפט שפולינום כזה אינו פריק ב-\(\MKrational\left[x\right]\) אך עדיין לא נובע מזה שהוא אי-פריק משום שישנה אפשרות נוספת - הוא הפיך.
\(\clubsuit\)
מהלמה של גאוס נובע שאם \(\deg f>0\) אז מהעובדה ש-\(f\) אי-פריק ב-\(\MKinteger\left[x\right]\) נובע שהוא גם אי-פריק ב-\(\MKrational\left[x\right]\).
טענה 3.41. יהי \(\MKfield\) שדה, \(\MKfield\left[x\right]\) הוא חוג אוקלידי.
משפט 3.42. הלמה של גאוס יהי \(f\in\MKinteger\left[x\right]\) פולינום, אם \(f\) פריק ב-\(\MKrational\left[x\right]\) אז הוא פריק גם ב-\(\MKinteger\left[x\right]\).
משפט 3.43. אפיון אייזנשטיין18ערך בוויקיפדיה: אייזנשטיין פרדיננד. יהי \(f\in\MKinteger\left[x\right]\) פולינום, נסמן \(n:=\deg f\), ויהיו \(\MKseqz a,n\in\MKinteger\) כך ש-\(f\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}\). אם קיים \(p\in\MKnatural\) ראשוני כך שמתקיים:
\(p\mid a_{i}\) לכל \(n>i\in\MKnatural_{0}\).
\(p\) לא מחלק את \(a_{n}\).
\(p^{2}\) לא מחלק את \(a_{0}\).
משפט 3.44. אז \(f\) אינו פריק ב-\(\MKinteger\left[x\right]\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );